Натуральные числа a, b, c таковы, что a = b+41 и ab+bc+ac = 3c^2. Найдите c.

Ab + c (a+b) = 3c^2

3c^2 - (a+b) * c - ab = 0

Получили квадратное уравнение относительно с.

По теореме Виета

c1 + c2 = (a+b) / 3 = (b+b+41) / 3 = (2b+41) / 3

c1*c2 = - ab/3 = - b (b+41) / 3

Из 2 равенства получаем: или b делится на 3, или b+41 делится на 3.

Если b делится на 3, то из 1 равенства получаем:

2b делится на 3, тогда 41 тоже делится на 3, но это не так.

Значит, a = b+41 делится на 3. Пусть a = 3k

Теперь, из 2 начального уравнения

3k*b + bc + 3k*c = 3c^2

bc = 3c^2 - 3k*b - 3k*c = 3 * (c^2 - kb - kc)

Так как b на 3 не делится, то c на 3 делится.

1) Запишем 2 уравнение в общем виде.

b (b+41) + c*b + c (b+41) = 3c^2

b^2 + 41b + cb + cb + 41c - 3c^2 = 0

b^2 + (2c+41) b + (41c-3c^2) = 0

2c+41 > 0 при любом натуральном с.

Ясно, что положительные корни появятся тогда, когда будет

41c - 3c^2 41. И при этом с делится на 3.

2) Возьмем 3c = 45, c = 15

b (b+41) + 15b + 15 (b+41) = 3*15^2

b^2 + 41b + 15b + 15b + 615 - 675 = 0

b^2 + 71b - 60 = 0

D = 71^2 - 4 (-60) = 5041 + 240 = 5281 - не квадрат, b не натуральное.

...

11) c=42. b (b+41) + 42b + 42 (b+41) = 3*42^2

b^2 + 41b + 42b + 42b + 1722 - 5292 = 0

b^2 + 125b - 3570 = 0

D = 125^2+4*3570 = 15625+14280 = 29905 - не квадрат.

12) c=45. b (b+41) + 45b + 45 (b+41) = 3*45^2

b^2 + 41b + 45b + 45b + 1845 - 6075 = 0

b^2 + 131b - 4230 = 0

D = 131^2+4*4230 = 17161+16920 = 34081 - не квадрат.

Мне тут Dimond228 подсказал, что при с = 210 получится

b (b+41) + 210b + 210 (b+41) = 3*210^2

b^2 + 41b + 210b + 210b + 8610 - 132300 = 0

b^2 + 461b - 123690 = 0

D = 461^2 + 4*123690 = 212521 + 494760 = 707281 = 841^2

b = (-461 + 841) / 2 = 190

a = b + 41 = 190 + 41 = 231

Ответ: a = 231; b = 190; c = 210