На доске написаны 300 натуральных чисел. Оказалось, что произведение любых 11 из них кратно 30. Какое наименьшее количество чисел, кратных 30, может быть на доске?

30 = 2 * 3 * 5

Произведение любых 11 чисел делится на 2, поэтому среди этих чисел обяательно должно быть чётное, и нечётных чисел не больше 10. Тогда чётных чисел не меньше 300 - 10 = 290.

Аналогично, на 3 делится не менее, чем 290 чисел, и на 5 делится не менее, чем 290 чисел.

Заметим, что эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы произведение любых 11 чисел делилось на 30, поэтому дальше будем говорить только о делимости чисел на 2, 3 и 5.

Буду обозначать количество делящихся на что-то чисел как # (что-то).

Заметим, что

# (2 и 3) = # (2) + # (3) - # (2 или 3) > = 290 + 290 - 300 = 280

# ((2 и 3) и 5) = # (2 и 3) + # (5) - # ((2 и 3) или 5) > = 280 + 290 - 300 = 270.

Пример, когда чисел, делящихся на 30, ровно 270:

270 раз 30, 10 раз 6, 10 раз 10, 10 раз 15.

Ответ. 270.