Диагонали параллелограмма равны 6 см и 2√31 см, а его периметр 24 см. Найдите длину большей стороны параллелограмма.

Обозначим стороны параллелограмма х и у, а острый угол α.

Так как тупой угол равен 180-α, то cos (180-α) = - cos α.

По теореме косинусов диагонали равны:

х²+у²-2 ху*cosα = 36,

х²+у²+2 ху*cosα = 124. Если сложить левые и правые части этих уравнений, то получим 2 х²+2 у² = 160 или х²+у² = 80 (1).

Периметр равен 2 х+2 у = 24 (по заданию) или х+у = 12.

Делаем замену у = 12 - х и подставим в уравнение (1).

х²+144-24 х+х² = 80.

Получаем квадратное уравнение:

2 х²-24 х+64 = 0 или х²-12 х+32 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:

D = (-12) ^2-4*1*32=144-4*32=144-128=16; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₁ = (√16 - (-12)) / (2*1) = (4 - (-12)) / 2 = (4+12) / 2=16/2=8; x₂ = (-√16 - (-12)) / (2*1) = (-4 - (-12)) / 2 = (-4+12) / 2=8/2=4.

Отсюда видно, что большая сторона равна 8 см.