На доске написано более 45, но менее 63 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 18, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно (-9).

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Пусть среди этих чисел p положительных, n отрицательных и z нулей.

а) сумма всех чисел равна 5 * (p + n + z), сумма положительных 18p, сумма отрицательных - 9n, сумма нулей 0.

5 (p + n + z) = 18p - 9n = 9 (2p - n)

Правая часть равенства делится на 9, тогда и левая должна делиться на 9, т. е. количество всех чисел, равное (p + n + z), делится на 9. Если количество чисел больше 45 = 5 * 9 и меньше 63 = 7 * 9 и делится на 9, то оно равно 6 * 9 = 54.

б) 9 (2p - n) = 5 * 54

2p - n = 30

n = 2p - 30

Так как всего чисел (с учетом нулей) 54, то n + p = 3p - 30 < = 54, откуда p < = 28. Значит, n - p = p - 30 < 0.

в) Уже показано выше, что p < = 28. Покажем, что значение 28 достигается.

Пусть на доске записано 28 чисел, равных 18, и 26 чисел, равных - 9. Тогда среднее арифметическое положительных чисел равно 18, отрицательных - 9, а всех чисел (28 * 18 - 9 * 26) / 54 = 5.

Ответ. а) 54, б) положительных больше, в) 28.