Докажите что из любых 11 случайных натуралних числел можно выбрать 2 числа разность или сумма которых делится на 19! Помогите с решением!

Достаточно сложения чисел.

Если числа идут подряд, то их можно представить так:

n-5; n-4; n-3; n-2; n-1; n; n+1; n+2; n+3; n+4; n+5.

Число n при делении на 19 может давать остатки от 0 до 18:

0: n = 19k - тогда (n-1) + (n+1) = 2n = 2*19k

1: n = 19k + 1 - тогда (n-2) + n = 2n-2 = 2*19k + 2 - 2 = 2*19k

2: n = 19k + 2 - тогда (n-4) + n = 2n-4 = 2*19k + 4 - 4 = 2*19k

3: n = 19k + 3 - тогда (n-5) + (n-1) = 19k+3-5+19k+3-1 = 2*19k

4. n = 19k + 4 - тогда (n-5) + (n-3) = 19k+4-5+19k+4-3 = 2*19k

5. n = 19k + 5 - тогда (n+4) + (n+5) = 19k+5+4+19k+5+5 = 2*19k+19

6. n = 19k + 6 - тогда (n+2) + (n+5) = 19k+6+2+19k+6+5 = 2*19k+19

7. n = 19k + 7 - тогда (n+2) + (n+3) = 19k+7+2+19k+7+3 = 2*19k+19

8. n = 19k + 8 - тогда (n+1) + (n+2) = 19k+8+1+19k+8+2 = 2*19k+19

9. n = 19k + 9 - тогда n + (n+1) = 19k+9+19k+9+1 = 2*19k+19

10. n = 19k + 10 - тогда (n+3) + (n-4) = 19k+13+19k+6 = 2*19k+19

11. n = 19k + 11 - тогда n + (n-3) = 19k+11+19k+8 = 2*19k+19

12. n = 19k + 12 - тогда n + (n-5) = 19k+12+19k+7 = 2*19k+19

13. n = 19k + 13 - тогда (n-3) + (n-4) = 19k+10+19k+9 = 2*19k+19

14. n = 19k + 14 - тогда (n-4) + (n-5) = 19k+10+19k+9 = 2*19k+19

15. n = 19k + 15 - тогда (n+3) + (n+5) = 19k+18+19k+20 = 2*19k+38

16. n = 19k + 16 - тогда (n+1) + (n+5) = 19k+17+19k+21 = 2*19k+38

17. n = 19k + 17 - тогда (n-1) + (n+5) = 19k+16+19k+22 = 2*19k+38

18. n = 19k + 18 - тогда (n-3) + (n+5) = 19k+15+19k+23 = 2*19k+38

Во всех случаях результат сложения делится на 19.