Найдите все пары чисел, удовлетворяющих уравнению х^2=y^2+2y+13

Если решать задачу исходя из условия, то ничего интересного не получится (если не считать того, что кривая, заданная этим уравнением (как Вы узнаете на первом курсе), является гиперболой. Если же добавить то, что Вы скорее всего забыли написать, а именно что x и y должны быть целыми числами, то задача становится вполне содержательной, хотя и стандартной

(ну хорошо, стандартной для знатоков математики, коим Вы, несомненно, в будущем станете).

Преобразуем: x^2 - (y+1) ^2=12; (x - y - 1) (x+y+1) = 12.

Поскольку мы предположили, что решения ищутся только среди целых чисел, раскладываем 12 всевозможными способами в произведение двух целых чисел:

12=1·12=12·1=2·6=6·2=3·4=4·3 = (-1) (-12) = (-12) (-1) = (-2) (-6) = (-6) (-2) = (-3) (-4) = ·

(-4) (-3)

Рассмотрим, скажем, первый случай: x - y - 1=1; x+y+1=12. Чтобы из этой системы найти x и y, можно выразить одну из неизвестных через другую с помощью одного уравнения и подставить во второе. Но можно сделать проще. Сложим эти уравнения (то есть к левой части первого уравнения добавим левую часть второго, аналогично поступим с правыми частями.

После приведения подобных членов получаем 2x=13; x=13/2. Мы видим, что получается нецелое число, значит, первый случай решений не дает. Поскольку случаев всего очень много, давайте устроим анализ, в каких ситуациях решения будут нецелые. Видим, что вторая скобка отличается от первой на 2 (y+1), то есть на четное число. Это означает, что если первая скобка четная, то вторая тоже четная, а если первая нечетная, то и вторая тоже нечетная. Среди разложений 12 в произведение не может быть разложения на два нечетных множителя, так как 12 - четное число. Ищем разложения 12 в произведение четных чисел. Таковыми являются 2·6, 6·2, (-2) (-6), (-6) (-2). Не буду лишать Вас удовольствия доведения самостоятельно решения до ответа. Удачи!