Найдите все значения а, при которых неравенство 3*sin^3 (x) + a*cos^2 (x) + 3*a^2 * sin (x) - a + 3 > = 0 выполняется для любых х.

3sin^3 x + a * (1 - sin^2 x) + 3a^2*sin x + (3-a) > = 0

3sin^3 x - asin^2 x + 3a^2*sin x + (a+3-a) > = 0

3sin^3 x - asin^2 x + 3a^2*sin x + 3 > = 0

Кубическое неравенство относительно sin x.

Как известно, sin x ∈ [-1; 1]. Если неравенство выполняется при любых x,

то оно выполняется при sin x = - 1 и при sin x = 1:

3 (-1) - a*1 + 3a^2 (-1) + 3 = - 3a^2 - a = - a (3a + 1) > = 0

a ∈ [-1/3; 0]

3*1 - a*1 + 3a^2*1 + 3 = 3a^2 - a + 6 > = 0 - это выполнено при любом а

Ответ: a ∈ [-1/3; 0]