Почему (а:b) + (c:d) = (ad+cb) : bd

Т. е. почему мы складываем дроби именно таким вот образом?

Прошу подробнее.

Для сложения дробей с разными знаменателями необходимо привести их к общему знаменателю.

Очевидно, что для дробей a/b и c/d общим знаменателем будет bd

Для сохранения значения дробей нужно домножить числитель каждой из них на недостающую величину.

Для дроби a/b такой величиной будет d, и дробь приобретет вид ad/bd.

Для дроби c/d такой величиной будет b, и дробь приобретет вид cb/db

Так как значения дробей не изменились (при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число), и обе дроби теперь имеют общий знаменатель bd, - мы можем их сложить:

a/b + c/d = ad/bd + cb/db = (ad+cb) / bd

Таким образом мы приводим оба слагаемых к общему знаменателю. Тогда числитель суммарной дроби равен сумме числителей слагаемых. А знаменатель будет общий. А приводим дроби к общему знаменателю как раз для того, что бы так по простому найти их сумму или разность.