Найти наименьшее значение функции y=x^3+2x^2+x-7 на отрезке [-1,0]

Находим производную функции y = x³+2x² + x-7:

y' = 3x ²+4x+1 и приравниваем её нулю:

3x²+4x+1 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:

D=4²-4*3*1=16-4*3=16-12=4; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₁ = (√4-4) / (2*3) = (2-4) / (2*3) = - 2 / (2*3) = - 2/6 = - (1/3) ≈ - 0.33333; x₂ = (-√4-4) / (2*3) = (-2-4) / (2*3) = - 6 / (2*3) = - 6/6 = - 1.

Найденные точки делят область определения функции на 3 промежутка:

(-∞; - 1), (-1; (-1/3)), ((-1/3) ; + ∞).

Находим знаки производной на полученных промежутках:

x = - 2 - 1 - 0,5 - 0,3333 0

y' = 5 0 - 0,25 0 1.

Видим, что в точке х = - 1/3 производная меняет знак с - на +.

Это признак минимума функции.

Значение функции в этой точке равно:

у (-1/3) = (-1/3) ³ + 2 * (-1/2) ² + (-1/3) - 7 = - 7,1481.