В остроугольном треугольника авс проведены высоты ВВ1 и СС1. Докажите, что углы ВВ1 С1 и ВСС1 равны

Треугольники В1 ЕС и С1 ЕВ подобны по трём углам, угол В1 ЕС=углу ВЕС1 как вертикальные, угол ЕВ1 С = углу ЕС1 В=90. = >угол ЕСВ1 = углу ЕВС1.

В1 Е/ЕС=ЕС1/ЕВ=sin (ECB1) = sin (EBC1)

т. к. В1 Е/ЕС=ЕС1/ЕВ то значит треугольники В1 ЕС и СЕВ подобны по двум сторонам и углу между ними. = > угол С1 В1 Е = углу ВСЕ

Или так

Треугольники ВВ₁С и СС₁В - прямоугольные, т. к. высоты пересекаются с соответствующими сторонами под прямым углом.

Вокруг этих треугольников можно описать одну окружность, т. к. гипотенуза ВС у них - общая, и радиус этой окружности будет одним и тем же для описанной вокруг каждого треугольника окружности.

Т. е. точки С и В₁ будут лежать на одной и той же окружности.

Углы ВВ₁С₁ И ВСС₁ - вписанные и опираются на одну и ту же дугу, стягиваемую хордой С₁В.

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу - равны, ч. т. д.