Sin^3 (x) + cos^3 (x) = 1 решите тригонометрическое уравнение

Разложим (sin (x) ^3+cos (x) ^3) как сумму кубов, тогда получим (sin (x) + cos (x)) * (sin (x) ^2-sin (x) * cos (x) + cos (x) ^2) = 1

По основному тригонометрическому тождеству sin (x) ^2+cos (x) ^2=1

Получаем: (sin (x) + cos (x)) * (1-sin (x) * cos (x)) = 1

(sin (x) + cos (x)) * (1-sin (2x) / 2) = 1

Скобка (1-sin (2x) / 2) всегда положительна, так как синус принимает значения в диапазоне от минус одного до одного, тут он разделен на два, значит диапазон будет от - 1/2 до 1/2.

Чтобы произведение равнялось положительной единице от первой скобки требуется принимать тоже положительные значения

Тогда при возведении в квадрат мы получим равносильное уравнение: (sin (x) + cos (x)) ^2 * (1-sin (2x) / 2) ^2=1

(sin (x) ^2+2*sin (x) * cos (x) + cos (x) ^2) * (1-sin (2x) / 2) ^2=1 (1+sin (2x)) * (1-sin (2x) / 2) ^2=1 Введем замену sin (2x) = t, t принадлежит [-1; 1] (1+sin (2x)) * (1-sin (2x) / 2) ^2=1 (1+t) * (1-t + (t^2) / 4) = 1 Перемножим скобки и получим после приведения подобных, что (t^3) / 4 - (3*t^2) / 4=0

Домножим уравнение на 4 и ввнесем t^2 за скобки: t^2 * (t-3) = 0t1=0,

t2=3>1 - не подходит Если t = 0, то

sin (2x) = 0

2x=пk

x=пk/2, где k принадлежит Z