Решите систему уравнений:

3x² - xy=16

x²+4xy+y²=-8

{ xy = 3x^2 - 16

{ x^2 + 4xy + y^2 = - 8

2 уравнение можно переписать так

x^2 + 2xy + y^2 + 2xy = - 8

(x + y) ^2 = - 8 - 2xy = - 2 (4 + xy)

Слева число неотрицательное, значит

4 + xy < = 0

xy < = - 4; значит, х и у имеют разные знаки.

Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение

x^2 + 12x^2 - 64 + y^2 = - 8

13x^2 + y^2 = 64 - 8 = 56

y^2 = 56 - 13x^2

Здесь два случая

1) y1 = - √ (56 - 13x^2) = 0

Подставляем в 1 уравнение

-x√ (56 - 13x^2) = 3x^2 - 16

x√ (56 - 13x^2) = 16 - 3x^2

Возводим в квадрат

x^2 * (56 - 13x^2) = (16 - 3x^2) ^2

Замена x^2 = t > = 0 при любом х

t (56 - 13t) = (16 - 3t) ^2

56t - 13t^2 = 256 - 96t + 9t^2

22t^2 - 152t + 256 = 0

D/4 = 76^2 - 22*256 = 5776 - 5632 = 144 = 12^2

t1 = (76 - 12) / 22 = 64/22 = 32/11;

x1 = √ (32/11) ; y1 = - √ (56 - 13x^2) = - √ (56 - 13*32/11) = - √ (200/11)

t2 = (76 + 12) / 22 = 88/22 = 4

x2 = 2; y2 = - √ (56 - 13x^2) = - √ (56 - 13*4) = - √ (56 - 52) = - 2

2) y2 = √ (56 - 13x^2) > = 0; тогда x < = 0

Подставляем в 1 уравнение

x√ (56 - 13x^2) = 3x^2 - 16

Возводим в квадрат

x^2 * (56 - 13x^2) = (3x^2 - 16) ^2

Замена x^2 = t > = 0 при любом х

t (56 - 13t) = (3t - 16) ^2

56t - 13t^2 = 256 - 96t + 9t^2

22t^2 - 152t + 256 = 0

D/4 = 76^2 - 22*256 = 5776 - 5632 = 144 = 12^2

t1 = (76 - 12) / 22 = 64/22 = 32/11;

x1 = - √ (32/11) ; y1 = √ (56 - 13x^2) = √ (56 - 13*32/11) = √ (200/11)

t2 = (76 + 12) / 22 = 88/22 = 4

x2 = - 2; y2 = √ (56 - 13x^2) = √ (56 - 13*4) = √ (56 - 52) = 2

Ответ:

x1 = √ (32/11) ; y1 = - √ (200/11)

x2 = 2; y2 = - 2

x3 = - √ (32/11) ; y3 = √ (200/11)

x4 = - 2; y4 = 2