Застопорился на примере. Отталкивался от записей в начале тетради:

"Метод мат. индукции заключается в:

1. Проверяется справедливость утверждения при n=1;

2. Допускается верность утверждения при n=k (смотря по примерам-n просто сменилась k) ;

3. Доказывается справедливость утверждения при n=k+1 (собственно проблема) ;

Пример-решение:

2+7+14 + ... + (n^2+2n-1) = (n (2n^2+9n+1)) / 6

1) n=1 1 = (1 (2*1^2+9*1+1)) / 6

1 = (1 (2+9+1)) / 2

1 [не равно] 2

2) 2+7+14 + ... (k^2+2k-1) = (k (2k^2+9k+1)) / 6

3) А вот тут началась ахинея еще в начале:

2+7+14 ... + (k^2+2k-1) * (k+2) = / / ?

(k (2k^2+9k+1)) / 6 + (k^2+2k-1) * (k+2) / / ?

и если так, то верно ли далее:

(k (2k^2+9k+1) + 6 (k^2+2k-1) * (k+2)) / 6

(2k^3+9k^2+k + (6k^2+12k-6) * (k+2)) / 6

1) при n=1:

левая часть: это первый член суммы, т. е. 2

правая часть: 1 * (2*1^2+9+1) / 6 = 12/6=2

2=2, т. е. равенство выполняется

2) предполагаем, что 2+7+14 + ... + (n^2+2n+1) = n (2n^2+9n+1) / 6

3) проверяем верность этого равенства для (n+1) :

для удобства записи я буду отдельно упрощать левую часть, потом правую и докажу, что они равны, итак, левая часть:

2+7+14 + ... + (n^2+2n-1) + ((n+1) ^2+2 (n+1) - 1) = т. к. мы предположили п. 2, то первые n слагаемых я заменяю на их значение, т. е. на "правую" часть из п. 2 и прибавляю последнее слагаемое = n (2n^2+9n+1) / 6 + ((n+1) ^2 + 2 (n+1) - 1) = (2n^3+9n^2+n) / 6 + (n^2+2n+1+2n+2-1) = (2n^3+9n^2+n) / 6 + (n^2+4n+2) = приводим к общему знаменателю: =

= (2n^3+9n^2+n+6n^2+24n+12) / 6 = (2n^3+15n^2+25n+12) / 6

Теперь займёмся правой частью для (n+1) :

((n+1) (2 (n+1) ^2+9 (n+1) + 1) / 6 = ((n+1) (2n^2+4n+2+9n+9+1)) / 6 = ((n+1) * (2n^2+13n+12)) / 6 = (2n^3+13n^2+12n+2n^2+13n+12) / 6 = (2n^3+15n^2+25n+12) / 6

пришли к тому же выражению, что и при преобразовании левой части, т. е. утверждение доказано методом математической индукции.