Доказать, что при любом натуральном а выражение а^3 + 11a делится на 6

Рассмотрим остатки а при делении на 6:

Если остаток 0, то все выражение, очевидно, делится

Если остаток 1:

а^3 сравнимо с 1, 11 а сравнимо с 11.

(1 + 11) делится на 6

Если остаток 2:

а^3 сравнимо с 2^3 = 8, 11 а сравнимо с 22.

22 + 8 = 30, что делится на 6

Если остаток 3:

а^3 сравнимо с 3^3 = 27, 11 а сравнимо с 33

33 + 27 = 60 делится на 6

Остаток 4:

а^3 сравнимо с 4^3 = 64, 11 а сравнимо с 44

64 + 44 = 108 = 6 * 18 делится на 6

Остаток 5:

а^3 сравнимо с 5^3 = 125, 11 а сравнимо с 55

125 + 55 = 180, что делится на 6

Мы рассмотрели все возможные остатки, при всех них выражение делится на 6