Я предлагаю товарищу записать (так, чтобы я не видел) любое трёхзначное число, состоящее из различных цифр (без нуля). Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. Пусть меньшее их этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачеркнёт одну цифру полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр. Тогда я могу легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус.

Трехзначное число, записанное цифрами a, b, c это 100a+10b+c

Переставляя цифры будем получать числа, записанные так:

b, c, a это 100b+10c+a

Вычитая из первого второе получим

99a - 99b-9c = 9· (11a-11b-c) - число кратное 9

Т. е сумма цифр разности кратна 9

кратными 9 могут быть числа

18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 99; ... 198; 207; ...

сумма цифр этих чисел кратна 9

Например, пусть разность равна 18

1+8=9

если зачеркнуть цифру 1, то вторая цифра 9-1=8

Товарищ назовет цифру 8, значит вы назовете цифру 1

Например, разность равна 198

Зачеркнутая цифра 9

Товарищ называет сумму других цифр

1+8=9

Сумма цифр разности кратна 9, значит зачеркнута именно цифра 9

1+9+8=18

1+8=9

18-9=9

Значит, вы добавляете 9

327 это 300+20 + 7

переставив цифры

273 это 200+70+3

вычитаем 300+20+7 - (200+70+3) = (300-3) + (20-200) + (7-70) =

=3·99-2·90-7·9=9· (11·3-2·10-7) = 9·6=54

Разность кратна 9, сумма цифр числа 54 равна 5+4=9 кратна 9

Если зачеркнуть 4, то вторая цифра 9-4=5

Если зачеркнуть 5, вторая цифра 9-5=4