Задать вопрос
21 мая, 22:38

На каждой стороне и каждой диагонали 20-угольника находится по лампочке, а в каждой вершине - по выключателю. Каждый выключатель контролирует лампочки, находящиеся на сторонах и диагоналях, выходящих из этой вершины: при переключении выключателя все горящие лампочки, которые он контролирует, гаснут, а все погасшие - включаются. Переключать два выключателя одновременно нельзя. Сейчас все лампочки не горят. Какое наибольшее количество лампочек можно сделать одновременно горящими, пользуясь выключателями?

+4
Ответы (1)
  1. 21 мая, 23:27
    0
    Пусть нам удалось включить наибольшее возможное количество лампочек. Рассмотрим конфигурацию лампочек и выключателей, которая получилась в результате переключений. Разобьем все выключатели на группы A и B. В первой группе находятся выключатели, которые переключали нечетное число раз, во второй находятся переключатели, переключенные четное число раз (или вообще не переключавшиеся). Рассмотрим произвольную лампочку x между двумя выключателями из A. Суммарно выключатели, смежные с этой лампочкой, переключались четное число раз (сумма двух нечетных чисел), поэтому в итоге лампочка окажется выключенной. Аналогично, рассмотрим произвольную лампочку y между двумя выключателями из B. Два смежных с ней выключателя также переключались четное число раз, поэтому лампочка в итоге тоже останется выключенной. Теперь рассмотрим произвольную лампочку z между двумя выключателями из разных групп. Поскольку суммарно смежные с ней выключатели переключателись нечетное число раз, эта лампочка будет гореть. Таким образом, гореть будут те и только те лампочки, которые находятся между переключателями из разных групп.

    Пусть в группе A находится 10-k выключателей, а в группе B 10+k. Тогда существует (10-k) (10+k) лампочек, на концах которых находятся выключатели из разных групп. Таким образом, достаточно найти наибольшее возможное значение выражения (10-k) (10+k) при условии 0≤k≤10. Очевидно, (10-k) (10+k) = 100-k ²≤100. Таким образом, одновременно могут гореть не более 100 лампочек.

    Примечание: логичнее рассмотреть группы из k и 20-k лампочек, но тогда для нахождения максимального значения нужно брать производную, что выходит за рамки 9 класса.
Знаете ответ?
Сомневаетесь в ответе?
Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «На каждой стороне и каждой диагонали 20-угольника находится по лампочке, а в каждой вершине - по выключателю. Каждый выключатель ...» по предмету 📘 Математика, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.
Смотреть другие ответы
Похожие вопросы по математике
N лампочек стоят в точках с координатами от 1 до N. Одним действием можно переключать любые три из них при условии, что одна из них находится на равном расстоянии от двух других (выключенные лампочки при этом включаются, включенные - выключаются).
Ответы (1)
Две комнаты. В одной комнате три выключателя, а в другой три лампочки. Как узнать к какому выключателю относится какая лампочка, если из комнаты с выключателями в комнату с лампочками можно войти только один раз
Ответы (2)
Гирлянда содержит лампочки четырёх цветов: красные, синие, зелёные и жёлтые. Красные лампочки составляют (дробь) 3/16 всех лампочек, синие лампочки - 5/24 всех лампочек, зелёные лампочки - 7/48 всех лампочек.
Ответы (2)
Для украшения класса повесили гирлянду из шаров красных 30 зеленых лампочек 10 лампочек перегорела сколько лампочек осталось горетьдля украшения класса повесили гирлянду гирлянде 40 градусов И 30 зеленых лампочек 10 лампочек перегорела сколько
Ответы (1)
В новогодней гирлянде 28 лампочек синего цвета и это составляет 7/30 всех лампочек гирлянды; 7/20 лампочек гирлянды красного цвета, 3/10 жёлтого, а остальные лампочки - зелёные. Сколько в гирлянде зелёных лампочек?
Ответы (2)