Найдите 4 таких числа, что сумма второго и третьего равна 60, сумма первого и четвертого равна 66, а также первые 3 составляет арифмитическую прогрессию, последние 3 геометрическую прогрессию

Пусть первое число а, второе (а+d), третье (а+2d) - три первых числа составляют арифметическую прогрессию.

Четвертое число b.

По условию:

1) Сумма второго и третьего равна 60:

(а+d) + (a+2d) = 60.

2) Сумма первого и четвертого равна 66:

a+b=66.

3) Числа (a+d) ; (a+2d) и b составляют геометрическую прогрессию, т. е

b: (a+2d) = (a+2d) : (a+d)

или

b (a+d) = (a+2d) ²

Из трех условий с тремя неизвестными получаем:

1) a = (60-3d) / 2;

2) b = 66 - a = 66 - ((60-3d) / 2) = (72+3d) / 2;

3) a+d = ((60-3d) / 2) + d = (60-d) / 2

a+2d = ((60-3d) / 2) + 2d = (60+d) / 2

Условие 3) примет вид:

(72+3d) / 2· (60-d) / 2 = ((60+d) / 2) ².

Умножаем на 4:

(72+3d) · (60-d) = (60+d) ²;

72·60+180d-72d-3d²=3600+120d+d²

4d²+12d-720=0;

d²+3d-180=0

D=3²-4· (-180) = 9+720=729=27²

d₁ = (-3-27) / 2=-15 или d₂ = (-3+27) / 2=12;

a₁ = (60-3d₁) / 2 = (60+45) / 2=105/2 или a₂ = (60-3d₂) / 2 = (60-36) / 2=12;

a₁+d₁ = (105/2) - 15=75/2 или a₂+d₂=12+12=24;

a₁+2d₁ = (105/2) - 30=45/2 или a₂+2d₂=12+24 = 36;

b₁ = (72+3d₁) / 2 = (72-45) / 2=27/2 или b₂ = (72+3d₂) / 2 = (72+36) / 2=54.

О т в е т. 105/2; 75/2; 45/2; 27/2 или 12; 24; 36; 54.