При каких значениях m вершины парабол y=x^2+4mx+2m и y=-x^2+2mx+4 расположены по одну сторону от оси х?

Чтобы вершины парабол y=x^2+4mx+2m и y=-x^2+2mx+4 были расположены по одну сторону от оси х должно выполняться условие:

дискриминант одной из парабол должен быть больше нуля, а второй - меньше нуля.

Рассмотрим дискриминант второй параболы: Д = в ² - 4 ас.

Д₂ = 4m²-4 * (-1) * 4 = 4m²+16. Этот дискриминант положителен при любом значении m.

Поэтому дискриминант первой параболы:

Д ₁ = 16m²-4*1*2m = 16m²-8m < 0.

Графически - это часть параболы, расположенной ниже оси Х.

Находим точки пересечения оси Х:

8m (2m-1) = 0.

m = 0, m = 1/2.

Ответ: 0 < m < 1/2.