Решить уравнение sin х + cos х = 1 - sin 2 х

Замена переменной

sinx+cosx=t

Возводим в квадрат

sin²x+2sinxcosx+cos²x=t²

Так как sin²x+cos²x=1, 2sinxcosx=sin2x, то 1+sin2x=t²⇒sin2x=t²-1

Уравнение примет вид:

t=1 - (t²-1)

t²+t-2=0

D=1+8=9

t = (-1-3) / 2=-2 или t = (-1+3) / 2=1

sinx+cosx=-2 уравнение не имеет корней. Так как наименьшее значение синуса и косинуса равно - 1, а это значение одновременно и синус и косинус принимать не могут.

sinx+cosx=1

Решаем методом введения вспомогательного угла.

Делим уравнение на √2:

(1/√2) sinx + (1/√2) cosx=1/√2.

sin (x + (π/4)) = 1/√2.

x + (π/4) = (π/4) + 2πk, k ∈Z или x + (π/4) = (3π/4) + 2πn, n∈Z;

x=2πk, k∈Z или x = (π/2) + 2πn, n∈Z.

Ответ. 2πk; (π/2) + 2πn; k, n∈Z.