В окружности проведены хорды AB, BC, CD, причём АВ=ВС=СD. Докажите что если отрезок AD является диаметром окружности, то отрезок АВ равен радиусу этой окружности.

АD делит окружность на две равные части. каждой из частей соответствует угол 180 градусов, т. к. вся окружность - 360 градусов. Если хорду одинаковы, то длины трех дуг окружности, на которые разбивают эти три хорды, тоже равны (1-ая дуга: АВ, 2-ая: ВС, 3-я: СD). каждой из них соответствует какой-то угол. Но, т. к. дуги равны, то и углы равны, а в сумме они дают половину окружности (180 градусов). Значит каждой дуге соответствует угол 180/3=60 градусов. Данный угол - это угол вершины треугольника, которая является центром окружности (угол АОВ, уголBOC, уголCOD, где О-центр окружности). Заметим, что АО, ВО, СО, DO - радиусы (отрезки, соединяющие центр и точку окружности), а все радиусы равны. Рассмотрим треугольник АОВ: угол при вершине О равен 60, треугольник - равнобедренный (боковые стороны, радиусы, равны), значит углы ОАВ и ОВА равны. найдем их: (180-60) / 2=60. Плучается, что у треугольника все углы по 60 градусов. Значит АВ=ВО=ОА (АВ-равен радиусу)