Каждое положительное целое число надо покрасить согласно следующим правилам: 1) каждое число должно быть красным или зелёным; 2) сумма двух различных красных чисел - красное число; 3) сумма двух различных зелёных чисел - зелёное число. Каким числом способов можно это сделать?

если число 1 и 2 одинакового цвета, то все последующие числа будут того же цвета так как 1+2=3, 1+3=4, 1+4=5 и т. д.

(это дает нам два варианта ответа все числа окрашены в зеленый цвет, либо все числа окрашены в красный цвет)

если числа 1 и 2 разного цвета, напр. 1 красное, 2 зеленое,

(число 3 будет либо зеленого либо красного цвета по условию задачи)

тогда если 3 красное то 1+3=4 красное, 1+4=5 красное и т. д. т. е. все числа кроме 2 красные, 2 зеленая

если 3 зеленое то тогда 2+3=5 зеленое, 4 тогда тоже зеленое так как если бы она была б красной то 1+4=5 получили бы красную 5, получили бы противоречие что 5 одновременно зеленая и красная

1 красное 2,3,4,5, зеленые, и 2+4=6,2+5=7,2+6=8 - все остальные зеленые

аналогичные рассуждения когда 1 зеленое, 2 красное

итого получаем 6 вариантов

1) все числа красные

2) все числа зеленые

3) 1 красное, все остальные зеленые

4) 2 зеленое, все остальные красные

5) 1 зеленое, все остальные красные

6) 2 красная, все остальные зеленые