Укажите хотя бы один делитель числа 4^2010 + 2^2009 + 3

Заметим, что 4^2+2^1+3=21 делится на 3

4^4+2^3+3=267 делится на 3

Запишем это как 4^ (2n) + 2^ (2n-1) + 3 и докажем по индукции, что любое число такого вида делится на 3:

Пусть при n=k

4^ (2k) + 2^ (2k-1) + 3 делится на 3, тогда

при n=k+1

4^ (2k+2) + 2^ (2k+1) + 3=16*4^ (2k) + 4^2^ (2k-1) + 3=15*4^ (2k) + 3*2^ (2k-1) + 4^ (2k) + 2^ (2k-1) + 3=3 * (5*4^ (2k) + 2^ (2k-1)) + 4^ (2k) + 2^ (2k-1) + 3 тоже делится на 3, так как 4^ (2k) + 2^ (2k-1) + 3 делится на 3.

А значит при n=1005 число 4^2010+2^2009+3 тоже делится на 3 и 3 будет одним из делителей.