Есть набор гирек с массами от 1 до 100 грамм. Докажите, что среди любых 16 гирек из этого набора можно выбрать две пары гирек, сумма в которых одна и та же.

Пусть нельзя выбрать 2 пары из 16, чтобы их суммы были равны.

Пусть Ax - масса какой-то иксной гирьки, тогда для любых k, l, m, n (от 1 до 16, но при этом все вместе не равны друг другу) : Ak+AlAm+An, а это значит, что и Ak-AmAn-Al, то есть любые разности двух гирек из 16 не могут быть меж собой равны. Причем так как гирек от 1 до 100, то эта разность не может превышать 99.

Подсчитаем сколько всего разностей вида Ak-Al может быть:

мы выбираем 2 гирьки из 16, то есть всего 16! / (2! (16-2) !) = 120 вариантов. Теперь если разность минимальна, то есть 1, 2, 3, то минимум мы получим разность равную 120, но разность не может превышать 99, значит мы пришли к противоречию, а значит можно выбрать две пары гирек, сумма в которых одна и таже