Вычислить неопределённый интеграл методом неопределенных коэффициентов, подробно.

13 / (х^2+4) (x+3) dx

13 / ((x^2 + 4) (x+3))

Убеждаемся, что знаменатель разложить на более "мелкие" множители мы уже не можем:

x^2 + 4 = 0 - корней нет, значит, разложить на множители не получится

(A*x + B) / (x^2 + 4) + C / (x+3) = 13 / ((x^2 + 4) (x+3)) - представляем нашу дробь в виде суммы таких дробей. Приводим к более наглядному виду:

(А*x^2 + 3A*x + B*x + 3B + C*x^2 + 4C) = 13. Знаменатели опустил, т. к. они одинаковые и очевидные.

Составляем простенькую систему уравнений, приравнивая коэффициенты перед соответствующими степенями:

A + C = 0

3A + B = 0

3B + 4C = 13

A = - C

B = - 3A = 3C

9C + 4C = 13

C = 1

A = - 1

B = 3

Т. о. исходный интеграл свели к сумме двух интегралов:

S (3-x) / (x^2 + 4) dx + S 1 / (x + 3) dx

При этом первый можно разбить еще на два:

S 3 / (x^2 + 4) dx - S x / (x^2 + 4) dx + S 1 / (x + 3) dx

S 3 / (x^2 + 4) dx = (3/2) * arctg (x/2) + C - табличный интеграл

S 1 / (x + 3) dx = ln (x + 3) + c - табличный

S x / (x^2 + 4) dx = 1/2 * S 1 / (x^2 + 4) d (x^2 + 4) = 0.5 * ln (x^2 + 4) + c - аналогично предыдущему.

Ответ: (3/2) * arctg (x/2) + ln (x + 3) + (1/2) * ln (x^2 + 4) + c

вроде так, но мог где-то ошибиться