Открытый бак цилиндрической формы должен вмещать 10 л. При какой Высоте и радиусе основание бака на его изготовление уйдет наименьшее количество материалов.

Объем бака

V = pi*R^2*H = 10

H = 10 / (pi*R^2)

Площадь боковой поверхности

S (бок) = 2pi*R*H = 2pi*R*10 / (pi*R^2) = 20/R

Площадь основания

S (осн) = pi*R^2

Вся площадь поверхности

S = S (осн) + S (бок) = pi*R^2 + 20/R должна быть минимальна

Найдем производную и приравняем ее к 0.

S ' = 2pi*R - 20/R^2 = (2pi*R^3 - 20) / R^2 = 0

2pi*R^3 - 20 = 0

R^3 = 10/pi

R = корень куб (10/pi)

H = 10 / (pi*R^2) = 10/pi*1 / (кор. куб (100/pi^2)) = 10/pi*кор. куб (pi^2/100) =

= кор. куб (1000/pi^3*pi^2/100) = кор. куб (10/pi) = R

Ответ: высота бака равна его радиусу и равна кор. куб (10/pi)