Решите!

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6902000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) ?

S - сумма кредита

а% - годовой процент по кредиту

k - ежегодный коэффициент, прибавляемый к S ежегодно 31 декабря

k=S + (S/100) * a=S (1+0.01a)

Выплата по кредиту производится 31 декабря каждого года 4-мя равными платежами.

х - сумма платежа

Имеем:

S₁ - сумма, оставшаяся после 1 выплаты

S₂ - оставшаяся после 2 выплаты

S₃ - после 3 выплаты

S₄ - после 4 выплаты, S₄=0 - кредит погашен полностью

S₁=S*k-x

S₂=S*k² - (1-k) * x

S₃=S*k³ - ((k³-1) / (k-1)) * x

S₄=S*k⁴ - ((k⁴-1) / (k-1)) * x

S*k⁴ - ((k⁴-1) / (k-1)) * x=0

(k⁴-1) / (k-1) = S*k⁴

x=S*k⁴ * (k-1) / (k⁴-1)

x=6902000 * (1.125) ⁴*0.125 / ((1.125) ⁴-1)

0.125=1/8

1.125=9/8

x=6902000 * (9/8) ⁴*1/8 / ((9/8) ⁴-1)

x = (6902000 * (6561/4096) * 1/8) / (2465/4096)

x = (6902000/8) * (6561/2465)

x=862750*2.66166329

x=2296350

Ответ: Ежегодная выплата по кредиту составит 2296350 руб.