Найти площадь сферы, вписанной в конус, образующая которого L и составляет с основанием угол a

Сфера вписана в конус.

осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник и вписанная окружность.

R=S/p

р = (a+b+c) / 2

SΔ=√ (p (p-a) (p-b) (p-c))

прямоугольный треугольник:

катет - радиус r основания конуса, найти

гипотенуза - образующая L конуса

катет - высота конуса Н

<α - угол между образующей и радиусом основания

cosα=r/L, r=L*cosα

равнобедренный треугольник со сторонами: L, L, 2r

pΔ = (L+L+2r) / 2, pΔ=L+r, pΔ=L+L*cosα, pΔ=L (1+cosα)

SΔ=√ ((L+r) (L+r-r) (L+r-L) (L+r-L)) = √ ((L+r) * r² * L

SΔ=r*√ (L+r) L,

SΔ = (L*cosα) * √L (1+cosα) * L,

SΔ=L*cosα*L*√ (1+cosα),

SΔ=L²cosα√ (1+cosα)

R = [ L²cosα√ (1+cosα) ] / [ L (1+cosα) ]

R=L*cosα√ (1+cosα)

Sсферы=4πR

Sсферы=4πLcosα√ (1+cosα)