В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС медианы пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если ОА=13 см, ОВ=10 см.

Проведем высоту ВН. ВН также будет медианой. Медианы делятся точкой пересечения медиан в отношении 2:1, считая от вершины, тогда ОН=10/2=5. Также Вн является высотой, тогда треугольник АОН прямоугольный, в нем АО=13 (гипотенуза), а меньший катер равен 5. Тогда катер АН равен 12. Н - сердина АС, тогда АС=24. Высота ВН равна 15, тогда площадь равна 24*15/2=180

Обозначим медиану, проведенную из вершины В к основанию, ВК.

Медианы треугольника пересекаются в точке, которая называется центроидом (или центром тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, ВО: ОК=2:1; ОК=10:2=5 (см)

В равнобедренном треугольнике медиана ВК, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой, поэтому треуг. АОК-прямоугольный.

В треуг. АОК:

АО=13 см-гипотенуза

ОК=5 см-катет

АК-? см - катет

АК2=АО2-ОК2 (теор. Пифагора)

АК2=13 * 13 - 5 * 5 = 144

АК=корень из 144

АК=12 (см)

Sтреуг=1/2 ah

Sтреуг. АВС=1/2 AC*ВК

АК=1/2 АС

Sтреуг АВС = АК * ОК = 12 * 15 = 180 (cм2)