На нефтебазу прибыло три состава с бензином. В первом составе 504 тонны бензина, во втором - 288 тонн, а в третьем - 648 тонн. Известно, что масса бензина в каждой цистерне одинакова. Сколько цистерн в первом составе, во втором и в третьем? Нужно именно расписать решение.

число цистерн выражается натуральным числом

504=2*2*2*7*3*3=2^3 * 3^2 * 7

288=2*2*2*2*2*3*3=2^5*3^2

648=2*2*2*3*3*3*3=2^3 * 3^4

масса одной цистерни находится среди общих делителей чисел 504, 288, 648

поэтому возможные массы одной цистерны (так как нам не указано предел массы) будут 1, 2, 4, 8, 3, 9, 6, 18, 12, 36, 24, 72 тонны

им соотвественно отвечают количевства цистерн

в первом составе: 504, 252, 126, 63, 168, 56, 84, 28, 42, 14, 21, 7

во втором составе: 288, 144, 72, 36, 96, 32, 48, 16, 24, 8, 12, 4

в третьем составе: 648, 324, 162, 81, 216, 72, 108, 36, 54, 12, 27, 9

Поскольку количество бензина во всех цистернах одинаково, масса бензина в цистерне является общим делителем чисел 504, 288 и 648.

Запишем эти числа в каноническом виде

504 = 7 * 8 * 9 = 2³ * 3² * 7¹ 288 = 32 * 9 = 2⁵ * 3² 648 = 8 * 81 = 2³ * 3⁴

Тогда НОД (504; 288; 648) = 2³ * 3² = 72

Следовательно, массой бензина в цистерне может быть любое число, на которое делится 72.

Для 72 тонн бензина в цистерне количество цистерн в первом составе 504 : 72 = 7, во втором составе 288 : 72 = 4, а в третьем составе 648 : 72 = 9.

Если же в цистерне 72/n тонн бензина, то количество цистерн в первом составе

7 * n, во втором составе 4 * n, а в третьем составе 9 * n.