Существуют ли такие рациональные нецелые числа x, y, что а) оба числа 19x+8y и 8x+3y целые?; б) оба числа 19x^2 + 8y^2 + 3y^2 целые?

Дано:

Рациональные нецелые x и y

Доказать:

а) оба числа 19 х+8 у и 8 х+3 у целые

б) оба числа 19x² + 8y² и 8 х²+3y² целые

Док-во

а) 19 х+8 у

чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются

В данном случае, x<19:19 и y<8:8

Т. к. x и y - рациональные нецелые числа ⇒ x∈[1:19; 18:19] и y∈[1:8; 7:8]

8 х+3 у

чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются

В данном случае, x<8:8 и y<3:3

Т. к. x и y - рациональные нецелые числа ⇒ x∈[1:8; 7:8] и y∈[1:3; 2:3]

⇒ 19 х+8 у и 8 х+3 у целые

б) 19x² + 8y² и 8 х²+3y²

чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются

В данном случае, не ни одного числа, при возведении в квадрат получают числа 19,8 и 3 ⇒ 19x² + 8y² и 8 х²+3y² не целые