Исследовать функцию на возрастание и убывание y=1/1-x^2

Точки разрыва: x не = 0

Производная: 2 (1 + 1/x) * (-1/x^2) = - 2 (1 + 1/x) : x^2 = - 2/x^2 - 2/x^3 = - (2x+2) / x^3

Критические точки: производная = 0

x = - 1, y (-1) = (1 - 1) ^2 = 0 - точка экстремума

При x < - 1/2 функция убывает

При - 1/2 < x < 0 функция возрастает

x = - 1/2 - точка минимума

При x > 0 функция убывает

Вторая производная

- [2x^3 - (2x+2) * 3x^2] / x^6 = - [2x - 3 (2x+2) ] / x^4 = - (-4x - 6) / x^4 = (4x+6) / x^4

Точки перегиба: вторая производная = 0

x = - 3/2, y (-3/2) = (1 - 2/3) ^2 = (1/3) ^2 = 1/9

Выпуклость

(4x+6) / x^4 < 0

x < - 3/2 - выпуклая вверх

(4x+3) / x^4 > 0

x > - 3/2 - выпуклая вниз

Вертикальная асимптота - это точка разрыва, х = 0

Наклонная асимптота на бесконечности

f (x) = kx + b

k = lim (x - >oo) (y/x) = lim (x->oo) (1 + 1/x) ^2 : x = (1 + 1/oo) ^2 : oo = 1 / oo = 0

b = lim (x - >oo) (y - kx) = lim (x - >oo) y = lim (x - >oo) (1 + 1/x) ^2 = 1^2 = 1

Горизонтальная асимптота f (x) = 1

Четность: ни четная, ни нечетная

Периодичность: не периодическая

Симметричность: не симметричная

Пересечения с осями: х = 0 - нет

у = 0

(1 + 1/x) ^2 = 0

1 + 1/x = 0

x = - 1, y (-1) = 0