Решите уравнение arcsin (2x) + arcsin (x) = π/3.

Arcsin (2x) + arcsin (x) = pi/3

Заменим : arcsin (2x) = a arcsin (x) = b

Откуда верно что:

sin (a) = 2sin (b)

a+b=pi/3

a = (pi/3-b)

2*sinb=sin (pi/3-b)

2sinb=√3/2 * cosb-1/2*sin (b)

4sinb=√3cosb-sinb

5sinb=√3*cosb

25sin^2b=3cos^2b

25sin^2b=3-3sin^2b

28sin^2 b=3

sin^2 b=x^2

28x^2=3

x=+-sqrt (3/28)

После таких сложных преобразований мы могли преобрести лишние решения.

Очевидно что - sqrt (3/28) не подходит тк сумма арксинусов отрицательных углов отрицательна.

Но очевидно x=sqrt (3/28) решение (это даже можно проверить на калькуляторе)

Покажем теперь что других решений быть не может:

Возьмем функцию:

y=arcsin (x) + arcsin (2x) - pi/3 Это функция монотонна возрастающая, а тогда возможно лишь 1 решение. (тк сумма 2 монотонно возрастающих функций монотонно возрастающая функция)

Ответ:x=√ (3/28)

arcsin (2x) + arcsin (x) = π/3

cos (arcsin (2x) + arcsin (x)) = cos (π/3)

cos (arcsin (2x)) * cos (arcsin (x)) - sin (arcsin (2x)) * sin (arcsin (x)) = cos (π/3)

cos (arcsin (2x)) * cos (arcsin (x)) - 2x*x=1/2

корень (1-4 х^2) * корень (1-х^2) = 1/2+2x^2

2 корень (1-4 х^2) * корень (1-х^2) = 1+4x^2

4 * (1-4 х^2) * (1-х^2) = (1+4x^2) ^2

х^2=t

4 * (1-4t) * (1-t) = (1+4t) ^2

4 * (1-5t+4t^2) = 1+8t+16t^2

4-20t=1+8t

3=28t

t=3/28

x=корень (3/28)