Две окружности пересекаются в точках a и b докажите что прямая проходящая через центры окружностей делит отрезок AB пополам и перпендикулярен ему

Если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Это теорема о пересечении хорды и диаметра окружности, доказательство можно найти. Здесь-АВ-хорда, О1 О2-2 радиуса этих окружностей, доказывать можно на любой.