В 6 в классе обучаются 20 учеников. В первой четверти они по трое дежурили по классу. Могло ли так получиться, что в некоторый момент каждый из учеников отдежурил с каждым ровно по одному разу?

Положим что такое возможно, тогда необходимо чтобы каждый отдежурил с каждым ровно 1 раз, тогда

рассмотрим 1 учащегося.

У него осталось 19 пар учеников, причем он обязан дежурит

только в 3. Первый раз он отдежурил с 2, потом с другими двумя и тд. (тк по предположению они должно дежурить вместе лишь единожды) каждый раз число его возможных пар будет уменьшаться на 2. После 9 заходов своего дежурства он отдежурить с 18 учениками, и останется ровно 1, но поскольку он обязан дежурить в тройке, то кроме этого последнего к нему в любом случае присоединится один из людей с которым он уже дежурил. Но тогда с ним он отдежурит два раза. Тогда мы пришли к противоречию, такое невозможно.