Можно ли около окружности радиуса 1 описать прямоугольный треугольник с периметром 10?

Решение:

Докажем соответствует ли это:

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть

R=c/2

Отсюда:

с=2*R=2*1=2 нам известна гипотенуза

Обозначим один из катетов за (х), второй за (у), тогда согласно теоремы Пифагора можно записать:

с^2=x^2+y^2 или 4=x^2+y^2 (1)

Кроме того нам известно, что периметр треугольника равен 10,

это можно записать:

х+у+с=10 или x+y+2=10 (2)

Решим получившуюся систему уравнений:

4=x^2+y^2

x+y+2=10

Из второго уравнения системы уравнений найдём значение (х) и подставим его значение в первое уравнение:

х=10-у-2

х=8-у

4 = (8-у) ^2+y^2

4=64-16y+y^2+y^2

64-16y+y^2+y^2-4=0

2y^2-16y+60=0

y1,2 = (16+-D) / 2*2

D=√ (16²-4*2*60) = √ (256-480) = √-224 вывод данное уравнение не имеет решения,

следовательно прямоугольный треугольник периметром 10 нельзя описать окружностью радиусом 1