докажите что в прямоугольном треугольнике с катетами a и b и с гипотенузой c a^3+b^3

+3

Пусть a^3 + b^3 > = c^3.

Возведём неравенство в квадрат:

a^6 + b^6 + 2a^3 b^3 > = c^6

Так как (x + y) ^3 = x^3 + y^3 + 3xy (x + y), то

(a^2 + b^2) ^3 + 2a^3 b^3 - 3a^2 b^2 (a^2 + b^2) > = c^6

Теорема Пифагора: a^2 + b^2 = c^2

с^6 + 2a^3 b^3 - 3a^2 b^2 c^2 > = c^6

2ab - 3 (a^2 + b^2) > = 0

3a^2 - 2ab + 3b^2 <=0

(a^2 - 2ab + b^2) + 2a^2 + 2b^2 <=0

(a - b) ^2 + 2a^2 + 2b^2 <=0

Из последнего неравенство следует, что a = b = 0, чего быть не может. Противоречие.