Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите что прямые MN и ST перпендикулярны.

Концы хорды ST лежат на обеих окружностях.

Треугольники SMT и SNT равнобедренные, так как их боковые стороны - радиусы соответственно большей и меньшей окружностей.

В ∆ SMN и ∆ TMN стороны SM=MT; SN=NТ. MN - общая. Эти треугольники равны по 3-м сторонам.

Тогда ∠ SМN = ∠TMN, ⇒ MN - биссектриса угла SMT. В равнобедренном треугольнике биссектриса является ещё и медианой и высотой. Следовательно, MN и ST перпендикулярны.