В треугольнике ABC медианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O. Отрезки OA1 = OB1 = OC1 = корню из восьми. Найдите площадь ABC.

Если отрезки пересекающихся медиан равны, то и медианы равны.

Если медианы треугольника равны, значит, треугольник равносторонний.

Применив теорему о том, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, найдем длину медиан:

ОА₁=√8, тогда АО=2√8, а АА₁=3√8.

АА₁=ВВ₁=СС₁=3√8=6√2.

В равностороннем треугольнике медиана является биссектрисой и высотой.

Найдем сторону АС через медиану ВВ₁ по формуле

ВВ₁ = (АС√3) / 2

6√2 = (АС√3) / 2

АС√3=12√2

АС = (12√2) / √3=4√6

Найдем площадь АВС

S=1/2 * AC * ВВ₁ = 1/2 * 4√6 * 6√2 = 2√6 * 6√2 = 12√12=24√3 (ед²)