Доказать, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон

Решение. Пусть АВС - данный равнобедренный треугольник с основанием АС, и серединой Ас - точкой К, тогда

АК=СК, АВ=ВС

Опустим перпендикуляры с точки К на боковые стороны АВ, ВС (по определению они будут расстояниями от точки до сторон) соответственно КР и КТ

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому она приведена

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними

Площадь треугольника ВКС равна 1/2*КТ*BC=1/2*CК*ВК*sin (BKC)

Площадь треугольника AКС равна 1/2*КP*AB=1/2*AК*ВК*sin (BKA)

sin (BKA) = sin (BKC) как синусы смежных углов, значит

1/2*AК*ВК*sin (BKA) = 1/2*CК*ВК*sin (BKC),

Значит 1/2*КТ*BC=1/2*КP*AB, отсюда

КТ=КР, что и требовалось доказать.

Доказано