в окружность вписан и около нее описан правильные треугольники. Найдите отношение сторон этих треугольников?

Проведем в обоих треугольниках медианы из всех трех вершин. Треугольники - правильные, поэтому медианы являются одновременно высотами треугольников и пересекаются в центре окружности.

Для вписанного треугольника отрезок медианы от точки их пересечения (центра окружности) до вершины равен радиусу окружности.

Для описанного треугольника радиусом окружности является отрезок медианы от точки их пересечения до середины стороны треугольника.

Таким образом треуольники являются подобными с коэффициентом подобия, равным отношению, в котором медианы треугольника делятся их точкой пересечения.

Но поскольку точка пересечения медиан всегда делит каждую их них в соотношении 1:2, то и сторона вписанного треугольника будет в два раза меньше стороны описанного.

Известны формулы для вычисления радиусов окружностей, вписанной и описанной около равностороннего треугольника:

R=a/sqrt (3)

r=a*sqrt3/6

a1/sqrt (3) = a2*sqrt3/6

a1/a2=3/6=1/2