Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, у которой боковая поверхность = 60√3 см², а полная поверхность = 108 √3 см².

Найдём площадь основания Sосн.=Sполная - S поверхности=48 корней из 3. Площадь основания правильного треугольника может быть найдена по формуле Sосн. = (корень из3) / 4 умноженное на а квадрат, где а сторона треугольника. Получаем 48 корней из 3 = (а квадрат*корень из 3) / 4=8 корней из3. Площадь одной боковой грани найдем разделив (60 кор. из 3) на три (по числу граней). Получим S1=20 корней из 3. Площадь боковой грани также равна половине произведения основания на апофему = (h*а) / 2 = (h * 8 корней из 3) / 2. Приравниваем два выражения и получаем 20 корней из3=h * 4 корня из 3. Отсюда h=5. Высота пирамиды приходит в центр вписанной окружности радиусом r=а/2 корня из 3. Подставим а и получим r = (8 кор. из3) / (2 кор. из 3) = 4. Тогда по теореме Пифагора из треугольника образованного апофемой и радиусом вписанной окружности, находим высоту пирамиды H=корень из (hквадрат-r квадрат) = корень из (25-16) = 3.