Диагональ осевого сечения цилиндра 8 см и наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 30 градусов. найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности равна сумме оснований и боковой поверхности

S = Sбок + 2Sосн = 2 пRh + 2πR²

Осевое сечение представляет собой прямоугольник, стороны его определятся

по диагонали D = 8 см

h = D*sinα = 8*sin30 = 8*0,5 = 4 cм

d = D*cosα = 8*cos30 = 8*√3/2 = 4√3 см

R = d/2 = 2√3 cм

S = 2 пRh + 2πR² = 2π*4*2√3 + 2π*12 = 24π+16π√3 = 8π (3+2√3) см²

Диагональ, диаметр и высота образуют прямоугольный треугольник: диагональ - гипотенуза, диаметр и высота - катеты и есть угол в 30 градусов. Напротив этого угла лежит высота цилиндра, т. е. она равна половине диагонали 4 см. Найдем диаметр по теореме Пифагора d = sqrt (64-16) = sqrt48=4sqrt3. Тогда радиус равен 2sqrt3.

Теперь найдемплощадь полной поверхности.

2Sосн = 2 pi*r^2 = 2 pi*12=24 pi; Sбок = 2 pi*r*h=2 pi * (2sqrt3) * 4=16 pi*sqrt3

Sполн = 24 pi + 16 pi*sqrt3 = 8 pi (3 + 2sqrt3)