В треугольнике KLM угол L тупой, а сторона KM равна 6. Найдите радиус описанной около треугольника KLMокружности, если известно, что на этой окружности лежит центр окружности, проходящей через вершины K, M и точку пересечения высот треугольника KLM.

Точку пересечения высот треугольника KLM обозначим - D. Точку серединного перпендикуляра на сторону DM обозначим - E. Центр окружности вокруг Δ KLM - O.

Рассмотрим Δ KDM - равнобедренный, явно претендующий на равносторонний. Определяем центр окружности вокруг Δ KDM. Проводим средний перпендикуляр треугольника. DO - одновременно является - выстой, биссектрисой и медианой, по условию данного Δ KDM - равнобедренный. KE - средний перпендикуляр и пересекаются они в точке L-это и будет центр окружности Δ KDM.

Рассмотрим Δ KEM и Δ KED - равны по признаку (KE-общая, DE=EM, т. к. E-точка середины и Ŀ 90 гр между равными сторонами). Следовательно, KE=KM вывод Δ KDM - равносторонний. Высота Δ KDM H=√36-9 = 5 см. Вспомним соотношени высот в равностороннем треугольнике 1/2 относительно точки их пересечения. Точка C переечение серединного перпендикуляра с стороной KM, и так LC=5/3, DL=2*5/3=10/3. R=10/3.

Рассмотрим углы образованный вокруг точки L их 6 и обазованные бисектрисами в равностореннем Δ KDM они равны между собой 360/6=60 гр, следовательно каждый из них 60 гр. Рассмотрим Δ LOM он оказывается - тоже равносторонним. Вывод радиус окружности Δ KDM равен радиусу окружности Δ KLM и равен R=10/3. И ещё вывод что, "если известно, что на этой окружности лежит центр окружности", то только тогда когда Δ KLM - равнобедренный.