Определить площадь равностороннего треугольника, если от его плоскости удалена точка на расстоянии 15 см, а длины отрезков, проведённых от этой точки до вершин треугольника равна 25 см.

построим ровносторонний треугольник со стороной а.

отметим точку в 15 см от плоскости так, что отрезки проведенных от этой точки до вершин треуголоьника были равны 25 ... отсюда следует:

если эти отрезки равны, то равны и их проекции в данном случае это R радиус описанной окружности

из прямоугольного треугольника где гипотенуза это отрезок = 25, а катет это перпендикуляр опущенный из точки на плоскость = 15

по теореме пифагора найдем второй катет, т. е R

R² = 625 - 225 = 400

R = 20 см

R = 2h/3

h треугольника = 3 * 20/2 = 30 см

опустим перпендикуляр на основание треугольника, она же высота = 30 см

так же по теореме пифагора:

а² = (а/2) ² + 900

3 а²/4 = 900

а = √1200

S треугольника = а²√3/4 = 1200*√3/4 = 300√3