Дано: треугольник АВС, медиана ВК, высота ВN.

АС=34 см, ВК=25 см, ВN=24 см.

найти периметр треугольника АВС.

площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию

S (ABC) = 1/2*AC*BN=1/2*34*24=408

площадь треугольника равна половине произведения стороны на медиану, проведенную к этой стороне, и на синус угла между ними

S (ABC) = 1/2*AC*BK*sin (AKB)

sin (AKB) = 2*S (ABC) / (AC*BK) = 2*408 / (34*25) = 24/25

(по основному тригонометрическому тождеству)

cos (AKB) = 7/25 или cos (AKB) = - 7/25

тогда

одна из сторон равна по теореме косинусов

a^2=AK^2+BK^2-2*AK*BK*cos (AKB) =

=17^2+25^2-2*17*25*7/25=676

a=корень (676) = 26

а вторая

с^2=AK^2+BK^2-2*AK*BK * (-7/25) =

=17^2+25^2+2*17*25*7/25=1152

c=24*корень (2)

периметр равен a+c+AC=26+34+24*корень (2) = 60+24*корень (2)