сторона основания правильной треугольной пирамиды 3 см, а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равно 45 °. Найти площадь поверхности пирамиды

Апофему А найдем из следующих соображений. По т. Пифагора:

А = (H^2 + a^2) ^0.5

H - высота пирамиды, a - часть медианы правильно треугольника, лежащего в основании пирамиды от точки пересечения медиан до стороны к которой она была проведена.

Т. к. угол в этом прямоугольном треугольнике 45 градусов, то H = a. а, в свою очередь, из правильного треугольника в основании (с учетом того, что а по свойству точки пересечения медиан равен 1/3 всей медианы) :

а = (1/3) * (3^2 - (3/2) ^2) ^0.5 = (6.75^0.5) / 3

Отсюда:

А = (H^2 + a^2) ^0.5 = (2*a^2) ^0.5 = 1.5^0.5

S = 0.5*9 * (1.5^0.5) = 4.5*корень из (1.5)