Точка О расположена внутри равностороннего треугольника со стороной а. Докажите, что сумма расстояний от точки О до прямых, содержащих стороны треугольника, равны высоте треугольника.

Сторона треугольника а, высота h, расстояния от О до сторон x; y; z.

Площадь треугольника можно выразить двумя способами

S = a*h/2;

и

если соединить О с вершинами, то получится три треугольника с площадями

x*a/2; y*a/2; z*a/2, то есть

S = x*a/2 + y*a/2 + z*a/2 = (x + y + z) * a/2;

Откуда

h = x + y + z; чтд