Около остроугольного треугольника ABC описана окружность. Точка О пересечение серединных перпендикуляров удалена от прямой AB на 6 см. Найти угол OBA и радиус окружности если угол AOC = 90 градусов, а угол OBC = 15 градусов.

Угол АОС - центральный и равен 90° (дано), значит дуга АС, на которую он опирается, равна 90°. Угол АВС - вписанный и опирается на дугу АС=90°. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной мере дуги, на которую он опирается, то есть 45°. Но угол АВС равен сумме углов ОВА и ОВС=15°, значит угол ОВА = 45°-15°=30°.

В прямоугольном треугольнике ОВК (точка К - это основание серединного перпендикуляра к прямой АВ, т. е. расстояние от О до АВ = 6 см это дано) против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы ОВ, являющейся радиусом описанной окружности. Значит ОВ=12 см.

Итак, искомый угол ОВА = 30°, а R = 12cм.