Помогите с геометрией

треугольник АБС равнобедренный с основанием АС. на основании АС взята точка Д такая, что угол АБД равен углу БАД. найдите ДС если АБ=18, АД=12

Треугольник ABD тоже равнобедренный, AD = BD = 12;

(то есть у треугольника ABD известны все три стороны AB = 18;)

С ходу в голову приходит воспользоваться теоремой косинусов, и тем, что углы ADB и CDB - дополнительные. Если (для максимальной краткости записи) обозначить 2*cos (Ф) = z; где Ф - это угол CDB; и DC = x; то

12^2 + 12^2 + 12*12*z = 18^2;

12^2 + x^2 - 12*x*z = 18^2;

откуда конечно можно найти x = DC;

дальше техника. Вместо того, чтобы находить из первого уравнения z и подставлять во второе, можно заметить, что

x^2 - 12*x*z = 12^2 + 12*12*z;

или

x^2 - 12^2 = 12 * (x + 12) * z;

12*z = x - 12; если это подставить в первое уравнение, получится

12^2 + 12^2 + 12 * (x - 12) = 18^2 = 12*27;

12 + 12 + x - 12 = 27;

x = 15;

Все это хорошо, но есть совсем элементарное решение.

Очевидно, что треугольники ABD и ABC подобны - это равнобедренные треугольники с одинаковыми углами при основаниях.

Треугольник ABD подобен треугольнику (2,2,3) с коэффициентом 6, то есть (12,12,18) ; а треугольник ABC имеет боковую сторону 18, то есть коэффицент подобия 9 с тем же треугольником (2,2,3) то есть его основание AC = 27; откуда DC = 15;