Пусть r - радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, а

радиусы трех вневписанных окружностей (вневписанная окружность касается одной стороны треугольника и продолжений двух других).

Доказать, что

Полупериметр p = (a + b + c) / 2;

p = (p - a) + (p - b) + (p - c) ;

поэтому

S/r = S/r1 + S/r2 + S/r3; собственно всё.

Конечно, надо знать, что S = (p - a) * r1; доказывается это точно также, как с вписанной окружностью - соединяются вершины с центром вневписанной окружности, и считаются площади получившихся треугольников с высотами r1. Сторона a - как раз та, которой касается вневписаная окружность между вершинами, а не на продолжении.